sábado, 1 de diciembre de 2012

La recta de Euler


Leonhard Euler es uno de los mayores maestros de la humanidad. Es prácticamente imposible encontrar una sola disciplina del saber científico en la que este gigante de las matemáticas y de la inteligencia no haya realizado una aportación esencial. Su majestuosa contribución al conocimiento se desarrolla a lo largo del siglo XVIII y para encontrar obras de semejante calibre es preciso esperar hasta el s XIX en el que desarrollan sus carreras matemáticos de la talla de Gauss, Riemann o Cauchy.
Entre las numerosísimas anécdotas que muestran la portentosa capacidad intelectual de este matemático suizo puede citarse que se sabía de memoria la Eneida en latín, asi como las actas completas de la Academia Prusiana de Ciencias o las primeras seis potencias de los primeros cien números primos.
Vamos a hablar de la llamada 'recta de Euler', un resultado de geometría de triángulos que requiere la presentación de algunos conceptos interesantes. Empezaremos considerando el baricentro, o centro de masas del triángulo. Es el punto de intersección de las tres medianas. La mediana es la recta que une el lado medio de un lado con el vértice opuesto. Para aclarar el gráfico únicamente representamos dos de ellas:


Toda figura plana tiene un baricentro. Es un lugar geométrico muy interesante para los tenistas, ya que si consideramos el baricentro de una raqueta de tenis, se trata del punto con el que es conveniente golpear la pelota para obtener un resultado óptimo. Cuando un tenista golpea la pelota con el baricentro, apenas nota repercusión del golpe en la muñeca, mientra que cualquier otro punto ocasiona una reacción en el mango que es conveniente evitar.

Consideremos ahora el lugar donde se cruzan las alturas del triángulo. Las alturas son las perpendiculares a los lados que pasan por el vértice opuesto. El punto de corte de las alturas se denomina ortocentro. De nuevo representamos únicamente dos de estas alturas:

Y vamos a considerar un tercer punto notable del triángulo: el circuncentro, que es el lugar donde se cruzan las mediatrices. Las mediatrices son las rectas perpendiculares a los lados que pasan por el punto medio de estos. Veamos de nuevo el gráfico:


El circuncentro es un lugar muy importante, ya que es el centro de la circunferencia que pasa por los tres vértices del triángulo, como indica su nombre. Veámoslo:



Euler demostró que los tres puntos presentados (baricentro, ortocentro y circuncentro) se disponen según una recta a la que denominamos 'recta de Euler' en su honor. Veamos un par de ejemplos:


En este segundo ejemplo vamos a representar un triángulo con un ángulo obtuso. Como veréis, esto hace que el circuncentro y el ortocentro caigan fuera de la superficie del triángulo considerado, mientras que el baricentro se mantiene siempre en el interior.

 

viernes, 2 de noviembre de 2012

Un poema y una fórmula

         EL GRAN NÚMERO

El número Pi es digno de admiración
tres coma uno cuatro uno
todas sus cifras siguientes también son iniciales
cinco nueve dos, porque nunca se termina.
No permite abarcarlo con la mirada seis cinco tres cinco
con un cálculo ocho nueve
con la imaginación siete nueve
o en broma tres dos tres, es decir, por comparación
cuatro seis con cualquier otra cosa
dos seis cuatro tres en el mundo.

La más larga serpiente después de varios metros se interrumpe
Igualmente, aunque un poco más tarde, hacen las serpientes fabulosas.
El cortejo de cifras que forman el número Pi
no se detiene en el margen de un folio,
es capaz de prolongarse por la mesa, a través del aire,
a través del muro, de una hoja, del nido de un pájaro,
de las nubes, directamente al cielo
a través de la total hinchazón e inmensidad del cielo.

¡Oh qué corta es la cola del cometa, como la de un ratón!
¡Qué frágil el rayo de la estrella que se encorva en cualquier espacio!

Pero aquí dos tres quince trescientos noventa
mi número de teléfono la talla de tu camisa
año mil novecientos setenta y tres sexto piso
número de habitantes sesenta y cinco décimos
la medida de la cadera dos dedos la charada y el código
en la que mi ruiseñor vuela y canta
y pide un comportamiento tranquilo
también transcurren la tierra y el cielo
pero no el número Pi, éste no,
él es todavía un buen cinco
no es un ocho cualquiera
ni el último siete
metiendo prisa, oh, metiendo prisa a la perezosa eternidad
para la permanencia.

 
Incluimos este poema de la poetisa polaca recientemente fallecida Wislawa Szymborska que tiene un tema infrecuente: las matemáticas, y en concreto el número irracional más importante. El tratamiento del tema es el clásico en la autora polaca y combina ingenuidad y perspicacia de manera muy personal. A mi entender el interés poético se encuentra en los dos versos finales: ‘la perezosa eternidad’ y la idea de meterle prisa ¡para la permanencia! El resto del poema parece dirigirse a un público infantil e ilustra el concepto mismo de número irracional, que es la manera breve de decir que tiene infinitas cifras decimales no periódicas, y por este mismo hecho no se puede expresar como una fracción. Una de las cosas que más llama la atención de este número maravilloso es que, pese a su origen geométrico, aparece en multitud de resultados algebraicos que en apariencia están muy alejados de la geometría, aparte de figurar en la fórmula que es unánimemente considerada como la más bella de las matemáticas:

e2Pi – 1 = 0

por cuanto incluye el número e, de naturaleza infinitesimal, el número pi, de origen geométrico, el número complejo i, los elementos neutros de la suma y la multiplicación (esto es, el cero y el uno) y el número 2, único número primo par. Es sorprendente que países matemáticos tan alejados confluyan de manera tan simple.

sábado, 27 de octubre de 2012

MAL DE ESCUELA, Daniel Pennac, editorial Mondadori

          El escritor francés repasa en esta obra su relación con la escuela, tanto en su condición de pésimo alumno como en la de excelente profesor. Pennac traza desde dentro su conmovedora antropología del fracaso escolar, rememorando sus inepcias para el estudio y el aprendizaje con crudeza, humor y humildad. Lo que le hizo salir de su laberinto de ignorancia y desidia fue un emérito profesor que le encargó la escritura de una novela. Este punto marca el inicio de una particular historia de redención y reinserción en el sistema educativo y social que culmina con la conversión del autobiografiado en profesor.

          En esta nueva etapa Pennac revela su enorme categoría humana y pedagógica y nos muestra sus valientes pedagogías sin escatimarnos algunos de sus fracasos. El libro constituye un colosal alegato contra la desidia de padres, profesores y alumnos y es una resuelta invitación a la perseverancia, el esfuerzo y la imaginación en el mundo de la enseñanza. Es una fortuna que personas como Daniel Pennac hayan acertado a resumir tan insólito itinerario en este magnífico libro que debería figurar entre las lecturas de cabecera de nuestra comunidad educativa. Las reflexiones en torno al sentido de la libertad que debería inculcarse en la escuela o la pavorosa destrucción educativa que han generado tantos años de proscripción de la memoria deberían figurar en cualquier tratado sobre nuestra época.

sábado, 20 de octubre de 2012

Qué son los logaritmos


Este verano estuvimos en Grecia, en la isla de Santorini, para mí el lugar más hermoso de la corteza terrestre. Si uno quiere pedir allí la cuenta basta con que ponga cara de ser una persona solvente, levante una mano y, dirigiéndose a un camarero, diga con voz bien audible: ‘¡logaritmós!’. Cuando el camarero escucha esto, en un lapso de tiempo razonable le trae a uno la relación de consumiciones junto con su precio, y es que ‘logaritmo’ significa precisamente eso: discurso (logos) hecho con números (aritmos).

En matemáticas llamamos logarimo a otra cosa bien diferente. Vamos a explicar brevemente en qué consisten los logaritmos. Veréis, si multiplico el número dos por sí mismo tres veces (2 x 2 x 2) obtendré el número ocho, lo que en matemáticas se escribe así:

2 x 2 x 2 = 23 = 8

También decimos que ‘dos elevado al cubo es ocho’.

El logaritmo es lo que me permite recorrer el camino de vuelta en la operación anterior. Decimos que ‘el logaritmo de ocho en base dos es tres’, porque para obtener un ocho multiplicando el dos por sí mismo hacen falta tres doses. Esto en matemáticas lo escribimos así:

log2 8 = 3

El número dos lo ponemos en letra pequeña junto a la abreviatura ‘log’. Eso se lee ‘logaritmo en base dos’. Como es natural, la base del logaritmo no tiene que ser necesariamente el número dos. Cualquiera de vosotros puede entender que el logaritmo en base cinco de 125 es tres porque cinco al cubo es 125. Veamos esto junto con algunos ejemplos más:

log5 125 = 3, o bien que log4 16 = 2, o bien que log10 10.000 = 4

Este último ejemplo es muy interesante: La representación de magnitudes físicas grandes en escala logarítmica de base 10 es algo habitual porque el 10.000 se me convierte en un 4, el 100.000 en un 5, el 1.000.000 en un 6 y así sucesivamente, y es más práctico manejar un cuatro, un cinco o un seis que andar manejando números tan grandes. Digamos que la función logarítmica crece más despacio (de uno en uno) que la magnitud que crece de diez en diez. Esto es algo enormemente útil en los estudios de física o química o en los procesos industriales.

La función logarítmica, designada con la expresión y = log x, tiene multitud de propiedades interesantes que vamos a contar resumidamente:

§       Para empezar, con independencia de la base de que se trate, me convierte productos en sumas, que son de más sencillo manejo, y divisiones en restas, que de nuevo son más sencillas de manejar. Eso se escribe así:

log(a x b) = log a + log b, es decir, el logarimo del producto de dos números es la suma de los logaritmos de cada uno de esos números. Ejemplo:
 
log 6 = log (2 x 3) = log 2 + log 3, sea cual sea la base empleada. 

log (a / b) = log a – log b, es decir, el logarimo del cociente de dos números es la resta de los logaritmos de cada uno de esos números. Ejemplo:

log (12 / 4) = log(3) = log 12 – log 4 

§       Pero es que además la función logaritmo también convierte los exponentes en múltiplos y los índices de las raíces en divisores:

log ab = b log a
      b ­_
log Öa = 1/b log a

Veamos un par de ejemplos de lo anterior:

log 8 = log 23 = 3 log 2  
                 2 ­__
                 log 8 = log Ö64 = ½ log 64

viernes, 19 de octubre de 2012

Una breve historia de casi todo, de Bill Bryson


UNA BREVE HISTORIA DE CASI TODO, 640 páginas, ed. RBA 2005

Una breve historia de casi todo es uno de los pocos libros que recordamos haber leído con capacidad para cambiar la vida de una persona. Bryson empieza centrándose en la pesquisa llevada a cabo por los científicos para averiguar la edad de nuestro planeta, y se dedica a repasar tanto las contribuciones de los investigadores ¾algunas sensatísimas, otras disparatadas¾ para levantar una muy hermosa historia de los descubrimientos y trazar un mapa del conocimiento actual.

El gran éxito de Bryson estriba en que sabe cómo captar la atención del lector superponiendo al relato de las investigaciones la pequeña peripecia personal no exenta de cotilleos y chismes de los protagonistas. Así se entera uno, por ejemplo, de que la familia de Dimitri Mendeleiev, el insigne científico que ordenó los elementos según la tabla periódica, tenía una fábrica de productos químicos en Siberia que fue destruida a consecuencia de un incendio. La madre del bueno de Dimitri, a la vista del talento del muchacho, emprendió un viaje con la criatura en autostop a lo largo de varios miles de kilómetros para que el futuro maestro de la humanidad pudiera estudiar en una universidad como Dios manda.

Una vez que Bryson coge carrerilla, se dedica a hablarnos con amenidad y competencia en torno a multitud de otros temas, como la realidad exenta de alarmismo relativa al cambio climático, zoología, genoma humano, microbiología, oceanografía o astronomía. Una de las tesis centrales del libro es que apenas conocemos nada de nuestro entorno. Sin propósito exhaustivo Bryson enumera en cada capítulo qué nos queda por conocer en las disciplinas que repasa, y lo cierto es que uno siente algo de miedo en algunos pasajes del libro a consecuencia de lo muy expuestos que parecemos estar, al menos a criterio de este espléndido divulgador. Un ejemplo de nuestra ignorancia: Sabemos tan poco sobre los océanos que sólo muy recientemente se ha descubierto por qué no son cada vez más salados, como cabría esperar debido a que la sal del mar procede de los yacimientos de sal gema existentes que son poco a poco disueltos por los ríos de agua dulce. Parece ser que existen en el fondo marino ciertas chimeneas por las que la sal retorna al subsuelo de los continentes, con lo que la salobridad marina se mantiene constante.

Contra lo que podría pensarse, Bryson es un novelista y periodista que un buen día decidió entrevistarse con grandes hombres de ciencia contemporáneos. El resultado de su trabajo es este libro emocionante y verdadero que a todos nos hubiera gustado escribir. Muy adecuado para estudiantes de bachillerato que estén pensando qué carrera elegir.

jueves, 18 de octubre de 2012

Teorema fundamental del álgebra

Incluimos este video de explicación del Teorema Fundamental del Álgebra. Se trata de entender que todo polinomio de grado n tiene n soluciones, o lo que es lo mismo, n valores de la variable que hacen que el polinomio sea cero.

Recordamos que un polinomio de grado n es una expresión matemática en la que aparecen diversos sumandos (llamados monomios) cada uno de los cuales está constituido por un coeficiente y una incógnita elevada a un número natural. Ejemplo: vamos a considerar el polinomio de grado 3 cuya incógnita llamamos equis. Esto, en matemáticas, se escribe así:

P(x) = 2x3+3x2+4x+5

Para cada valor de equis obtenemos un valor del polinomio. Por ejemplo, si equis vale 1 tendremos que:

P(1) = 14, mientras que si equis vale cero tendremos que P(0) = 5

En multitud de problemas es interesante preguntarse por los valores que hacen que un polinomio valga cero. Como veréis en el vídeo, el teorema fundamental del álgebra dice que este polinomio de grado 3 tiene tres valores de equis para los que el polinomio vale cero. En matemáticas decimos en tal caso que el polinomio tiene tres ceros o tres raíces o tres soluciones. El teorema no nos dice cuáles son esos valores que anulan el polinomio, simplemente nos dice cuántos valores anulan el polinomio.

http://www.youtube.com/watch?v=ha1nExO_X1g&feature=relmfu