Qué son los logaritmos

Este verano estuvimos en Grecia, en la isla de Santorini, para mí el lugar más hermoso de la corteza terrestre. Si uno quiere pedir allí la cuenta basta con que ponga cara de ser una persona solvente, levante una mano y, dirigiéndose a un camarero, diga con voz bien audible: ‘¡logaritmós!’. Cuando el camarero escucha esto, en un lapso de tiempo razonable le trae a uno la relación de consumiciones junto con su precio, y es que ‘logaritmo’ significa precisamente eso: discurso (logos) hecho con números (aritmos).

En matemáticas llamamos logarimo a otra cosa bien diferente. Vamos a explicar brevemente en qué consisten los logaritmos. Veréis, si multiplico el número dos por sí mismo tres veces (2 x 2 x 2) obtendré el número ocho, lo que en matemáticas se escribe así:

2 x 2 x 2 = 2³ = 8

También decimos que ‘dos elevado al cubo es ocho’.

El logaritmo es lo que me permite recorrer el camino de vuelta en la operación anterior. Decimos que ‘el logaritmo de ocho en base dos es tres’, porque para obtener un ocho multiplicando el dos por sí mismo hacen falta tres doses. Esto en matemáticas lo escribimos así:

log₂ 8 = 3

El número dos lo ponemos en letra pequeña junto a la abreviatura ‘log’. Eso se lee ‘logaritmo en base dos’. Como es natural, la base del logaritmo no tiene que ser necesariamente el número dos. Cualquiera de vosotros puede entender que el logaritmo en base cinco de 125 es tres porque cinco al cubo es 125. Veamos esto junto con algunos ejemplos más:

log₅ 125 = 3, o bien que log₄ 16 = 2, o bien que log₁₀ 10.000 = 4

Este último ejemplo es muy interesante: La representación de magnitudes físicas grandes en escala logarítmica de base 10 es algo habitual porque el 10.000 se me convierte en un 4, el 100.000 en un 5, el 1.000.000 en un 6 y así sucesivamente, y es más práctico manejar un cuatro, un cinco o un seis que andar manejando números tan grandes. Digamos que la función logarítmica crece más despacio (de uno en uno) que la magnitud que crece de diez en diez. Esto es algo enormemente útil en los estudios de física o química o en los procesos industriales.

La función logarítmica, designada con la expresión y = log x, tiene multitud de propiedades interesantes que vamos a contar resumidamente:

§       Para empezar, con independencia de la base de que se trate, me convierte productos en sumas, que son de más sencillo manejo, y divisiones en restas, que de nuevo son más sencillas de manejar. Eso se escribe así:

log(a x b) = log a + log b, es decir, el logarimo del producto de dos números es la suma de los logaritmos de cada uno de esos números. Ejemplo:

 

log 6 = log (2 x 3) = log 2 + log 3, sea cual sea la base empleada. 

log (a / b) = log a – log b, es decir, el logarimo del cociente de dos números es la resta de los logaritmos de cada uno de esos números. Ejemplo:

log (12 / 4) = log(3) = log 12 – log 4 

§       Pero es que además la función logaritmo también convierte los exponentes en múltiplos y los índices de las raíces en divisores:

log a^b = b log a

      _b ­_

log Öa = 1/b log a

Veamos un par de ejemplos de lo anterior:

log 8 = log 2³ = 3 log 2  

                 ₂ ­__

                 log 8 = log Ö64 = ½ log 64